2.2. Groei van functies, functies van groei¶
We hebben in de voorgaande sectie steeds de volledige formule van een functie gebruikt. je kunt in veel gevallen de volgende functiewaarde ook uitrekenen uit de huidige en vorige waarden.
Zoals we later zullen zien heeft dat een historische betekenis: voor het maken van tabellenboeken voor de praktijk, bijvoorbeeld voor het navigeren, werd een dergelijke aanpak gebruikt.
Deze aanpak kun je ook zien als het modelleren van een groeimodel: het groeien van bijvoorbeeld een tak aan een boom betekent dat de “volgende waarde” van de tak bepaald wordt uit de “huidige waarde”.
Het eenvoudigste groeimodel is nulgroei: de volgende waarde is gelijk aan de huidige. De uitwerking hiervan laten we aan de lezer.
2.2.1. Lineaire groei¶
Bij lineaire groei is de volgende waarde gelijk aan de huidige met een constant verschil.
Dit model hebben we eerder gebruikt voor het uitrekenen van de x-kolom: A3: =A2+delta0.
Hierbij hebben we een benoemd bereik gebruikt voor de “groeiconstante”.
definieer als benoemd bereik in
H1:delta0; geefH1de waarde 1.maak als kop in
A1:lineargebruik als startwaarde in
A2: 0gebruik als formule in
A3:=A2+delta0kopieer deze formule naar
A4:A42
2.2.2. Kwadratische groei¶
Bij kwadratische groei hangt de toename af van de waarde van x,
of, in biologische systemen, van de tijd t.
B3: =B2+A2*delta1.
definieer als benoemd bereik in
H2:delta1; geefH2de waarde 1.maak als kop in
B1:quadraticgebruik als startwaarde in
B2: 0gebruik als formule in
B3:=B3+A3*delta1kopieer deze formule naar
B4:B42maar een grafiek van de twee functies.
2.2.3. Exponentiële groei¶
Bij exponentiële groei hangt het verschil tussen de huidige en de volgende waarde af van de huidige waarde.
definieer als benoemd bereik in
H3:delta2; geefH3de waarde 0,2maak als kop in
C1:exponentialgebruik als startwaarde in
C2: 1gebruik als formule in
C3:=C2+C2*delta2kopieer deze formule naar
C4:C42maak een grafiek van de drie functies.
Dit groeimodel kom je bijvoorbeeld in de biologie tegen bij de groei van bacteriekolonies, of bij de verspreiding van besmettelijke ziektes (…). Als elke bacterie zich vrij kan vermenigvuldigen door celdeling in een periode delta-t, dan verdubbelt het aantal bacteriën in deze periode.
(Stel je ziet dat 1/8 van een petrischaal bedekt is met de bacteriekolonie, en je weet dat de bacterie zich elke dag vermenigvuldigt, over hoeveel dagen is dan de hele schaal bedekt? )
In de economie is dit het model van “rente op rente”: als je een kapitaal uitleent tegen een vast percentage per jaar, dan groeit je kapitaal exponentieel. Het kapitaal groeit elk jaar met de rente, die weer afhangt van het kapitaal op dat moment. De snelheid waarmee je kapitaal verdubbelt hangt af van het rentepercentage.
In een grafiek zie je deze groei vaak als een “hockeystick curve”: er lijkt vrij lang weinig te gebeuren, en ineens schiet de grafiek omhoog. Dit zie je ook in de tabel en in de grafiek: de exponentiële functie blijft eerst onder de lineaire functie, en nog vrij lang onder de kwadratische functie, en schiet dan boven alles uit.
2.2.4. Logaritmische groei¶
De groeifuncties hierboven laten een steeds snellere groei zien. Maar er zijn ook extra-trage groeifuncties mogelijk. Een voorbeeld is de logaritmische groei.